关键词  材料力学实验，不确定度
1 引言
目前越来越多的高等院校工程力学实验室引进微机控制电子式万能试验机，用于材料力学性能教学试验，如测定金属材料的上下屈服强度、抗拉强度、规定非比例延伸强度、弹性模量等。我校工程力学实验室2003年购进10台微机控制电子式万能试验机，用于本科生材料力学教学实验。但如何评定材料力学性能测定中的不确定度，对材料力学教学实验有重要意义。
作为材料的拉伸、压缩和弯曲等力学性能测定，其测量不确定度受诸多因素的影响：如材料的均匀性；试样的形状和制备方法；试样的夹持方式；试样的加载同轴度；试样尺寸的测量、引伸计标距、力和变形测定的误差；试验机的数据采集速率及试验软件；试验温度、加载速率等等。
    上述影响测量不确定度的诸多因素可分为两类：一类是与材料无关的参数，如力、变形（位移）、试样标距和横截面积的测量误差，采样速率和试验软件的影响；一类是与材料有关的参数，如材料的均匀性、试验速率（应变速率或应力速率）带来的影响。本测量不确定度分析主要针对与材料无关的参数。
弹性模量是材料最稳定的常数，但影响其测量不确定度的误差因素也最多。下面以测定拉伸弹性模量E为例给出测量不确定度评定与表示（即误差分析）,其它力学性能的测量不确定度也可按类似方法进行评定与表示。
2 测量方法和数学模型
2.1  测量方法
在材料力学实验的拉伸试验中，一般采用圆形截面试样，利用微机控制电子式万能试验机以受控的速率对试样施加拉力，用引伸计测量试样标距内的伸长，绘制（测量）试样拉伸过程中力和变形曲线，以测定有关力学性能。如上屈服强度ReH、下屈服强度ReL和抗拉强度R m仅取决于力和试样横截面积的测量误差，而规定非比例延伸强度Rp和弹性模量E的测定却取决于力、变形、标距和试样横截面积的测量误差。表1给出GB/T 228-2002《金属材料 室温拉伸试验方法》和GB/T 8653-1988《金属杨氏模量、弦线模量、切线模量和泊松比试验方法（静态法）》规定的测定拉伸试验数据的最大允许测量误差。
表1  GB/T 228和GB/T 8653规定的拉伸试验数据的最大允许测量误差
参   数 拉伸性能，误差（%）
 ReH ReL Rm Rp E
力 F 1 1 1 1 1
变形△L － － － 1 1
标距Le － － － 1 1
横截面积S0 1 1 1 1 1
2.2  数学模型
    材料的拉伸弹性模量E是材料在弹性范围内应力与应变之比。在力-变形曲线的弹性直线段内，取试验力F，测量出引伸计标距Le的相应伸长∆L，即可求得弹性模量E：
  …………………………… ⑴
式中：E表示材料的拉伸弹性模量，GPa；
      F表示拉伸试验力，N；
Le表示引伸计标距，mm；
S平均为试样标距部分的原始横截面积，mm2；
∆L为试样标距部分的伸长，mm；
T为试验温度；
为应变速率。
在试验过程中，温度和应变（或应力）速率必须保持在一定限度内。式⑴就是在GB/T 228和GB/T 8653允许的温度和应变（或应力）速率下，拉伸弹性模量E测量过程的数学模型。
2.3  不确定度计算
由于试验一般都是在同一试验室同一时间或较短时间内完成的，室温的变化较小，温度效应修正及其所引入的标准不确定度uT可以忽略不计。至于应变（应力）速率效应，其敏感性与被测材料相关，又由于试验时控制在同一速率范围，故应变速率效应修正的不确定度分量 ,暂未列入测量不确定度分析范围。
    在式⑴中，因各输入量彼此独立，根据JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》不确定度传播率，E 的不确定度按式⑵计算：
  …… ⑵
则相对标准不确定度：

则相对合成标准不确定度为：

3  标准不确定度分量
影响弹性模量E测量不确定度的分量包括：力测量不确定度分量uF；引伸计标距测量不确定度分量uLe；横截面积测量不确定分量 ；变形测量不确定度分量u∆L。
在JJF1059中测量不确定度评定分为两类：A和B类。A类标准不确定度分量的估计方差，是由一系列重复观测值计算得到的，即为统计方差估计值。B类标准不确定度分量的估计方差，则是根据有关信息（包括以前的测量数据和经验、检定证书提供的数据和准确度等级、有关国家标准给出的测量误差等）来评定的，即基于事件发生的可信程度（主观概率或先验概率）通过一个假定的概率密度函数得到的。
a) 力标准不确定度
微机控制电子式万能试验机的力值准确度为1级（即1级试验机），力示值误差为±1.0 %，可认为示值出现在±1.0 %范围内的任何处都是等概率的，而落在该范围外的概率基本为零，假设为矩形（均匀）分布。由JJF 1059表3可知 ，所以试验机的B类相对标准不确定度 为：

    1级试验机又是借助于0.3级标准测力仪进行校准的，该校准源的不确定度为0.3 %，其置信因子为2，故由此引入的B类相对标准不确定度 为：

    计算机数据采集系统采集力值时引入的不确定度，与采样速率及系统分辨力有关。在满足最小数据采样速率条件下，根据实验可得到由计算机数据采集系统所引入的B类相对标准不确定度 为：

    鉴于试验机、标准测力仪和计算机数据采集系统采集力值影响FeL这三个不确定度分量彼此无关，所以力测量相对标准不确定度uFr可合成为：

b) 引伸计标距测量不确定度
微机控制电子式万能试验机配置的引伸计为1级准确度。按GB/T 12160-2002《单轴试验用引伸计的标定》规定，1级准确度的引伸计其标距相对误差为1%，这同样是矩形（均匀）分布。由JJF 1059表3可知 ，所以引伸计标距测量B类相对标准不确定度 为：

c) 横截面积标准不确定度
根据GB/T228规定，测量每个尺寸应精确到±0.5%，横截面积测量误差为±1.0%，这同样是矩形（均匀）分布。由JJF 1059表3可知 ，所以横截面积测量B类相对标准不确定度 为：

d) 变形测量不确定度
按GB/T 12160规定，1级准确度的引伸计系统相对误差为1%，这同样是矩形（均匀）分布。由JJF 1059表3可知 ，所以变形测量B类相对标准不确定度 为：

4  合成标准不确定度
考虑到力测量不确定度、引伸计标距测量不确定度、截面积测量不确定度和变形测量不确定度这四个分量之间彼此独立，由此可得E的相对合成标准不确定度uEr为：

    所以，E的合成标准不确定度uE为：

5  扩展不确定度
在相对合成标准不确定度确定后，乘以一个包含因子k，即可得到扩展不确定度。根据JJF 1059第7章“扩展不确定度的评定”可知，在大多数情况下（置信概率为95%）取k = 2，因此E的相对扩展不确定度Ur为：

而E的扩展不确定度U为：

表2给出了ReH、ReL、Rm、Rp、E的相对标准不确定度一览表。
表2  ReH、ReL、Rm、Rp、E的相对标准不确定度一览表
项   目 ReH ReL Rm Rp E
试验机力示值的相对标准不确定度，  0.58% 0.58% 0.58% 0.58% 0.58%
0.3级标准测力仪引入的相对标准不确定度，  0.15% 0.15% 0.15% 0.15% 0.15%
引伸计误差引入的Fp判读不确定度，  － － － 0.6% －
计算机数据采集系统引入的不确定度，  0.2% 0.2% 0.2% 0.2% 0.2%
引伸计标距引入的不确定度，  － － － － 0.58%
横截面积测量引入的相对标准不确定度，  0.58% 0.58% 0.58% 0.58% 0.58%
引伸计变形测量引入的相对不确定度，  － － － － 0.58%
相对合成标准不确定度，uRr 0.86% 0.86% 0.86% 1.1% 1.2%
置信度95%的包含因子，k 2 2 2 2 2
相对扩展不确定度，Ur=k·uRr 1.7%. 1.7% 1.7% 2.1% 2.4%
6  表示形式
作者用2004年春季学期学生测试的实验数据进行测量不确定度分析。试验是在10台微机控制电子式万能试验机进行，引伸计为YUU5010，试验速度为2 mm/min。试验时间2004年2月～6月，一共做了171根低碳钢和171根硬铝试样的。低碳钢试样的拉伸弹性模量E平均值为208 GPa；硬铝试样的拉伸弹性模量E平均值为71.0 GPa，规定非比例延伸强度Rp0.2平均值为339 MPa。表3是低碳钢和硬铝的E、Rp0.2测量不确定度表示形式。
表3  测量不确定度表示形式
材    料 合成标准不确定度u 扩展不确定度U 测量不确定度表示形式
低碳钢 E 2.5 GPa 5 GPa 
硬  铝 E 0.84 GPa 1.7 GPa 
 Rp0.2 3.6 MPa 7 MPa 
结论：落在测量不确定度范围内的试样，低碳钢E有127根，占试样总数的74.3 %，硬铝E有133根，占试样总数的77.8 %，Rp0.2有65根，占试样总数的38.0 %。弹性模量E是材料最稳定的常数，而强度与材料品质有关，上述数据说明本不确定度分析是正确的